Trong hai chiều

Toán tử Laplace trong không gian hai chiều được viết như là

Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}

với x và y là tọa độ Descartes trong mặt phẳng xy.

Trong tọa độ cực,

Δ f = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 . {\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}.}

Trong ba chiều

Trong không gian 3 chiều, người ta thường viết toán tử Laplace sử dụng nhiều hệ tọa độ khác nhau.

Trong tọa độ Descartes,

Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 . {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}

Trong tọa độ trụ,

Δ f = 1 ρ ∂ ∂ ρ ( ρ ∂ f ∂ ρ ) + 1 ρ 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 . {\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}

Trong tọa độ cầu:

Δ f = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 f ∂ ϕ 2 . {\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}.}

( θ   {\displaystyle \theta \ } là góc đo từ cực Bắc và ϕ {\displaystyle \phi } là kinh độ).Biểu thức 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) {\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)} có thể được thay bằng biểu diễn tương đương 1 r ∂ 2 ∂ r 2 ( r f ) {\displaystyle {1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)} .

Không gian N chiều

Trongtọa độ cầu trong N {\displaystyle N} chiều, với cách đặt tham số x = r θ ∈ R N {\displaystyle x=r\theta \in {\mathbb {R} }^{N}} với r ∈ [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle r\in [0,+\infty )} và θ ∈ S N − 1 {\displaystyle \theta \in S^{N-1}} ,

Δ f = ∂ 2 f ∂ r 2 + N − 1 r ∂ f ∂ r + 1 r 2 Δ S N − 1 f {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f}

mà Δ S N − 1 {\displaystyle \Delta _{S^{N-1}}} là toán tử Laplace–Beltrami trên mặt cầu trong không gian N − 1 {\displaystyle N-1} (còn gọi là Laplacian cầu). Người ta cũng có thể viết ∂ 2 f ∂ r 2 + N − 1 r ∂ f ∂ r {\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial r^{2}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}} một cách tương đương như là 1 r N − 1 ∂ ∂ r ( r N − 1 ∂ f ∂ r ) . {\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}{\Bigr )}.}